Question

【題目】如圖，邊長為3的正方形OABC的兩邊在兩坐標軸上，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A，C，與x軸交于另一點D，P為第一象限內拋物線上一點，過P點作y軸的平行線交x 軸于點Q，交AC于點E.

(1)求拋物線解析式及點D的坐標；

(2)過E點作x軸的平行線交AB于點F，若以P，E，F為頂點的三角形與△ODC相似，求點P坐標；

(3)過P點作PH⊥AC于H，是否存在點P使△PEH的周長取得最大值，若存在，請求出點P坐標及△PEH周長的最大值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（－1，0）；（2）點P坐標為（，）；（3）存在為P使△PEH周長取得最大值，點P坐標為（1.5，3.75），△PEH周長最大值為.

【解析】分析：（1）由正方形邊長是3， 得到A、C的坐標，然后把A、C的坐標代入，解方程即可得到拋物線解析式，令y=0，解一元二次方程即可得到點D的坐標．　

（2）設P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)，先用待定系數法求出直線AC的解析式為y=-x+3，設E(m，3-m)，得到PE=-m2+3m，EF=3-m．因為∠PEF=∠COD=900，故要使△PEF與△COD相似，只需或，分別解方程即可得出結論．

（3）由正方形的性質可以得到∠PEH=∠AEQ=450．在Rt△PEH中，PH＝，EH＝．設△PEH的周長為l，則l＝PE+PH+EH=()PE，故當PE取最大值時l有最大值．而PE=-m2+3m，配方即可得出結論．　

詳解：（1）∵正方形邊長是3， ∴A（3，0），C（0，3）．　

∴　．　

解得．

∴y=-x2+2x+3．

由-x2+2x+3＝0得　 x1=3，x2=-1．∴D（－1，0）．

（2）設P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)．

設AC的解析式為：y=kx+b，

則．解得：．

∴AC：y=-x+3，E(m，3-m)．　

∴PE=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m，EF=3-m

∵∠PEF=∠COD=900，∴要使△PEF與△COD相似，

只需或．

①當時，．　解得：m1=m2=3．

∵0<m<3，所以舍去．　

②當時，， 解得：m1=，m2=3．

∵0<m<3，所以m=．

當x=時，y=

∴點P坐標為（）．　

（3）∵OABC是正方形，∴∠OAB=900，AC平分∠OAB．∴∠OAC=450．

又∵∠PQA=900，∴∠AEQ=900-∠OAC=450．

∠PEH=∠AEQ=450．

在Rt△PEH中，PH＝PEsin450=，EH＝PEcos450=．　

設△PEH的周長為l，則l＝PE+PH+EH=()PE，

∴當PE取最大值時l有最大值．　

PE=-m2+3m＝－(m-1.5)2+2.25，

即當m=1.5時PE有最大值2.25．

l最大＝()PE=．　

當m=1.5時，-m2+2m+3＝3.75

答：存在為P使△PEH周長取得最大值，點P坐標為（1.5，3.75），△PEH周長最大值為．