Question

【題目】為判斷命題“有三條邊相等且一組對角相等的四邊形是菱形”的真假，數學課上，老師給出菱形ABCD如圖1，并作出了一個四邊形ABC′D．具體作圖過程如下：

如圖2，在菱形ABCD中，

①連接BD，以點B為圓心，以BD的長為半徑作圓弧，交CD于點P；

②分別以B、D為圓心，以BC、PC的長為半徑作圓弧，兩弧交于點C′．

③連接BC′、DC′，得四邊形ABC′D．

依據上述作圖過程，解決以下問題：

（1）求證：∠A＝∠C′；AD＝BC′．

（2）根據作圖過程和（1）中的結論，說明命題“有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是　 　命題．（填寫“真”或“假”）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）真

【解析】

（1）連接BP，由菱形的性質得出AD=BC，∠A=∠BCD，根據題意得出BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，得出AD=BC′，由SSS證明△BPC≌△BDC′，得出對應角相等∠BCD=∠C′，即可得出∠A=∠C′；
（2）由（1）可知命題“有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是真命題．

證明：連接BP，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，∠A=∠BCD，
根據題意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，
∴AD=BC′，
在△BPC和△BDC′中，

∴△BPC≌△BDC′（SSS），
∴∠BCD=∠C′，
∴∠A=∠C′；
（2）由（1）可知四邊形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，但四邊形ABC′D不存在，易證A、D、C′共線，
所以有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是真命題．
故答案為：真．