Question

已知直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)B（0，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠ABO=30°．以線段AB為邊在第三象限內(nèi)作等邊△ABC．
（1）求直線AB的解析式；　　　
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，），且△ABP的面積和△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)B（0，），
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x-；

（2）∵A（-1，0）、B（0，），
∴AB===2，
∴∠ABO=30°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，-）；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交y軸于點(diǎn)E，則∠BEC=∠ABO=30°，
∵BC=2，
∴BE===2，
∴OE=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-3），
設(shè)直線CE的解析式為y=ax+n（a≠0），
則a=-，n=-3，
∴直線CE的解析式為y=-x-3，
若△ABP的面積和△ABC的面積相等，
則點(diǎn)P在直線CE上，
則=-m-3，
m=-3．
分析：（1）先設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，再把點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，）代入，求出k、b的值，即可得出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AB的值，再根據(jù)∠ABO=30°，△ABC為等邊三角形，得出AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）先過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交y軸于點(diǎn)E，得出∠BEC=∠ABO=30°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出OE的值，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再設(shè)直線CE的解析式為y=ax+n（a≠0），求出a，n的值，得出直線CE的解析式，若△ABP的面積和△ABC的面積相等，則點(diǎn)P在直線CE上，求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)是：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，平行線的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．