Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長交x軸于N．
（1）求⊙M的半徑．
（2）求線段AC的長．
（3）若D為OA的中點，求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

分析：（1）由OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB為⊙M的直徑，即可得到⊙M的半徑．
（2）連接OC，根據OB是⊙M直徑，得到OC⊥BC，利用面積相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的長，然后利用勾股定理求得AC的長即可．
（3）連MD，OC，由OB為⊙M的直徑，得∠OCB=90°，則∠OCD=90°，由于D為OA的中點，所以CD=

1

2

OA=OD，因此可證明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切線．

解答：解：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB長是x²-mx+12=0的兩根
∴OA•OB=12∴OB=3   故B（0，3）（2分）
∵OB為直徑
∴半徑MB=

3

2

       （4分）

（2）連接OC
∵OB是⊙M直徑
∴OC⊥BC                    （5分）
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=

42+32

=5            （6分）
∴OC•5=3•4
∴OC=

12

5

                    （7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

    （8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO   （9分）
又CD是Rt△OCA斜邊上中線
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO                （10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC                       （11分）
∴CD是⊙M的切線               （12分）
（注：由于解法不一，可以視方法的異同與合理性分步計分）

點評：本題考查的難點是圓的切線的判定方法．經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了直徑所對的圓周角為90度，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形全等的判定和性質．