Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O 為坐標原點，長方形 OABC，點 B 的坐標為（3，8），點 A、C 分別在坐標軸上，D 為 OC 的中點.

（1）在 x 軸上找一點 P，使得 PD＋PB 最小，則點 P 的坐標為 ；

（2）在 x 軸上找一點 Q，使得|QD－QB|最大，求出點 Q 的坐標并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) P（1，0）;(2)見解析.

【解析】

（1）作點D關于x軸的對稱點D'，根據軸對稱性質有PD=PD'，又根據三角形兩邊之和PD'+PB大于第三邊BD'，故B、P、D'在同一直線上時，PD+PB有最小值．求直線BD'的解析式后令y=0，求出其與x軸的交點，即此時的點P坐標;
（2）根據三角形兩邊之差|QD-QB|小于第三邊BD，故當B、D、Q在同一直線上時，|QD-QB|=BD有最大值．求直線BD解析式后令y=0，求出此時Q的坐標．

解：（1）作D關于x軸的對稱點D'，連接BD'，交x軸于點P
∵PD=PD'
∴PD+PB=PD'+PB
∴當B、P、D'在同一直線上時，PD+PB=BD'最小
∵四邊形OABC是矩形，B（3，8）
∴C（0，8）
∵D為OC中點
∴D（0，4）
∴D'（0，-4）
設直線BD'解析式為：y=kx+b

， 解得：，
∴直線BD'：y=4x-4
當4x-4=0時，解得：x=1
故答案為：P（1，0）


（2）根據三角形兩邊之差小于第三邊，|QD-QB|＜BD
∴當B、D、Q在同一直線上時，|QD-QB|=BD最大
設直線BD解析式為：y=ax+c

， 解得：

∴直線BD：y=x+4
當x+4=0時，解得：x=-3
∴點Q（-3，0）