Question

【題目】已知點D、E分別是∠B的兩邊BC、BA上的點，∠DEB＝2∠B，F為BA上一點．

（1）如圖①，若DF平分∠BDE，求證：BD＝DE+EF；

（2）如圖②，若DF為△DBE的外角平分線，BD、DE、EF三者有怎樣的數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝DE+BD，證明見解析.

【解析】

（1）如圖①，在BA上截取EG=DE，連接DG，得到∠EDG=∠EGD，根據三角形外角的性質和角平分線的定義即可得到結論；
（2）在BA上截取EG=DE，連接DG，則∠EDG=∠EGD，根據三角形外角的性質和角平分線的定義即可得到結論．

（1）如圖①，在BA上截取EG＝DE，連接DG，

則∠EDG＝∠EGD，

∵∠DEB＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，

∵∠DEB＝2∠B，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝DG，

∵DF平分∠BDE，

∴∠BDF＝∠EDF，

∵∠DFE＝∠B+∠BDF，∠FDG＝∠FDE+∠EDG，

∴∠DFG＝∠FDG，

∴DG＝GF，

∴FG＝BD，

∵FG＝EF+AE，

∴BD＝DE+EF；

（2）如圖②在BA上截取EG＝DE，連接DG，

則∠EDG＝∠EGD，

∵∠DEB＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，

∵∠DEB＝2∠B，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝DG，

∵DF平分∠CDE，

∴∠CDF＝∠EDF，

∵∠DFE＝∠CDF﹣∠B，∠GDF＝∠EDF﹣∠EDG，

∴∠GDF＝∠DFG，

∴DG＝FG，

∴GF＝BD，

∵EF＝EG+GF，

∴EF＝DE+BD．