Question

【題目】如圖，在四邊形中，是對角線，，，延長交的延長線于點.

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，連接.設，點是直線上的動點，當的值最小時，點與點是否可能重合？若可能，請說明理由并求此時的值（用含的式子表示）；若不可能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以重合，理由見解析，的最小值為.

【解析】

（1）運用HL證明即可得到結論；

（2）根據已知條件可證出AB=BE，從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數；

（3）連接，連接，延長交的延長線于點.證明點與點關于直線成軸對稱，也即點、點、點關于直線的對稱點，這三點共線，也即的值最小時，點與點重合.再證明為等邊三角形即可得到結論.

（1）證明：，

，，

.

.

（2），

又，

.

，

.

.

，

.

由（1）得，

.

.

（3）當的值最小時，點與點可以重合，理由如下：

，

，.

，

.

.

.

由（1）得，，

，

.即平分.

又，，

.

連接，連接，延長交的延長線于點.

設，則.

在中，.

在中，.

，

.

，

.

當時，

，，

.

.

即點與點關于直線成軸對稱，也即點、點關于直線的對稱點，這三點共線，也即的值最小時，點與點重合.

因為當時，，也即.

所以，當時，取最小值時的點與點重合.

此時的最小值即為.

，，，

.

.

.

，，三點共線.

當時，在中，

.

∴ ∠EPA＝60°.

為等邊三角

.，

.

.

，

.

的最小值為.