Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：交x軸于點A（-4，0），交y軸于點B，點C（2，0）．

（1）如圖1，求直線AB的解析式；

（2）如圖2，點D為第二象限內一點，且AD=DC，DC交直線AB于點E，設DE：EC=m，點D的縱坐標為d，求d與m的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，直線AD交y軸于點F，點P為線段AF上一點，G為y軸負半軸上一點，PG=AB，且∠PGF+∠BAF=∠AFB，當m=1時，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）將點A（4，0）代入，求出b＝1即可；

（2）由已知可得D（1，d），求出CD的直線解析式為，再由E是兩直線的交點，求出E（，），過點D作DQ⊥x軸于Q，作EN∥x軸交DQ于N，則，由EC：CD＝1：（m＋1），即可求出d＝；

（3）過點P作PH⊥y軸于點H，截取HM＝HG，求出直線AD的解析式為，則F（0，3），tan∠AFB＝，所以FH＝PH，易證Rt△PHG≌RtPHM，由角的關系得到∠MPF＝∠FAB，構造△PKM≌△AFB，可得FB＝MK＝MF，求出FB＝MK＝MF＝2，在Rt△PHM中，根據PM2＝PH2＋MH2，求出PH＝，FH＝，最后求出OG＝HGOH＝，即可求解．

解：（1）將點A（4，0）代入，得，

∴b＝1，

∴直線AB的解析式為；

（2）∵AC＝6，AD＝DC，

∴D的橫坐標為1，

∵點D的縱坐標為d，

∴D（1，d），

設直線CD的解析式為，

代入D（1，d），C（2，0）得：，解得：，

∴直線CD的解析式為，

聯立，可得E（，），

如圖，過點D作DQ⊥x軸于Q，作EN∥x軸交DQ于N，

則，

∵DE：EC＝m，

∴EC：CD＝1：（m＋1），

∴，

∴d＝；

（3）如圖，過點P作PH⊥y軸于點H，截取HM＝HG，

∵m＝1，

∴d＝，

∴D（1，），

設直線AD的解析式為，

代入A（4，0），D（1，）得：，解得：，

∴直線AD的解析式為，

∴F（0，3），

∴tan∠AFB＝，

∴，

∴FH＝PH，

易證Rt△PHG≌Rt△PHM（HL），

∴PG＝PM＝AB，∠PGH＝∠PMH，

∴∠AFB＝∠PMF＋∠MPF，

∵∠PGF＋∠BAF＝∠AFB，

∴∠MPF＝∠FAB，

構造△PKM≌△AFB，

則∠MFK＝∠AFB＝∠PKM，

∴FB＝MK＝MF，

∵OF＝3，OB＝1，

∴FB＝MK＝MF＝2，

在Rt△PHM中，PM2＝PH2＋MH2，

∵AB＝，

∴17＝PH2＋（2＋PH）2，

∴PH＝，

∴FH＝，

∴HG＝HM＝2＋＝，OH＝3＝，

∴OG＝HGOH＝，

∴G（0，）．