Question

【題目】劉徵是我國古代最杰出的數學家之一，他在《九算術圓田術）中用“割圓術”證明了圓面積的精確公式，并給出了計算圓周率的科學方法（注：圓周率＝圓的周長與該圓直徑的比值）“割圓術”就是以“圓內接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”，劉徽形容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的，易知圓的內接正六邊形可分為六個全等的正三角形，每個三角形的邊長均為圓的半徑R．此時圓內接正六邊形的周長為6R，如果將圓內接正六邊形的周長等同于圓的周長，可得圓周率為3．當正十二邊形內接于圓時，如果按照上述方法計算，可得圓周率為_____．（參考數據：sinl5°＝0.26）

Answer 1

【答案】3.12

【解析】

連接OA1、OA2，根據正十二邊形的性質得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．設圓的半徑R，解直角△A1OM，求出A1M，進而得到正十二邊形的周長L，那么圓周率π≈．

如圖，設半徑為R的圓內接正十二邊形的周長為L．

連接OA1、OA2，

∵十二邊形A1A2…A12是正十二邊形，

∴∠A1OA2＝30°．

作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，

∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．

在直角△A1OM中，A1M＝OA1sin∠A1OM＝0.26R，

∴A1A2＝2A1M＝0.52R，

∴L＝12A1A2＝6.24R，

∴圓周率π≈＝＝3.12．

故答案為3.12．