Question

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=  ，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x。

（1）梯形ABCD的面積為_________；
（2）當x的值為___________時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（3）當x的值為___________時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（4）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由。

Answer 1

（1）34
（2） x的值為3或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（3）x的值為1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（4）由（3）知，①當BP=1時，不能構成菱形．
②當BP′=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形；

試題分析：（1）先作高，然后根據梯形的面積公式求出結果；
（2）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，容易得到AM=DN，AD=MN，而CD=，∠C=45°，由此可以求出AM=DN，又AD=5，容易求出BM、CN，若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPE=90°，那么P與M重合或E與N重合，即可求出此時的x的值；
（3）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（4）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（2）知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．
點評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質、直角梯形的性質、平行四邊形的性質、菱形的性質等知識來解決問題，要求學生對于這些知識比較熟練，綜合性很強．