Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為對角線BD上一動點，以P為直角頂點作Rt△PMN交直線CD于點N，交直線BC于點M，

（1）如圖1，若點P與對角線交點O重合時，求證：PM=PN．

（2）如圖2，若點P為線段OD中點時，

①求證：BM+3DN=3；

②如圖3，當M點在線段CB延長線上，且點N使得3CN=DN，MN分別交AB，BD于E，F，求線段EF的長（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；② .

【解析】

（1）根據∠MPC=∠NPD，CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，判定△PCM≌△PDN，根據全等三角形的對應邊相等，即可得出PM=PN；
（2）如圖2，過P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=90°，由△MPB∽△NPQ，可得=3，BM=3NQ，由PQ∥OC，點P為線段OD的中點，推出點Q為CD的中點，推出CQ=BC=1，推出DN+NQ=1，可得DN+BM=1，由此即可解決問題．
（3）過P作PQ⊥BD，交CD于Q，判定△PBM∽△PQN，得到，根據BM=3NQ，求得CN，BM，ME以及EN的長，再根據△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，即可得出EN的長，根據相似三角形的性質得到線段EF的長．

解：（1）如圖1中，

依題意得，∠MPN=∠CPD=90°，

∴∠MPC=∠NPD，

又∵正方形ABCD中，AC、BD交于點O，

∴CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，

在△PCM和△PDN中，

，

∴△PCM≌△PDN（ASA），

∴PM=PN；

（2）①證明：如圖2，過P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=90°，

∴∠PQD=∠PBM=45°，

依題意得，∠MPN=∠QPD=90°，

∴∠MPB=∠NPQ，

∴△MPB∽△NPQ，

∴，

∵點P為線段OD的中點，OB=OD，

∴BP=3PD，

∵PD=PQ，

∴PB=3PQ，

∴，即BM=3NQ，

∵PQ∥OC，點P為線段OD的中點，

∴點Q為CD的中點，

∴CQ=BC=1，

∴DN+NQ=1，

∴DN+ BM=1，

∴BM+3DN=3．

②如圖3，過P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=∠MPN=90°，∠PQD=45°，

∴∠MPB=∠NPQ，
∵∠PQD=∠PBC=45°，
∴∠PBM=∠PQN=135°，
∴△PBM∽△PQN，
∴，
又∵點P為線段OD的中點，
∴PD=PB=PQ，
∴，即BM=3NQ，
∵CN=DN=CD=，
∴DN=，
∵PQ∥OC，P為線段OD的中點，
∴Q為CD的中點，
∴DQ=CQ=CD=1，
∴NQ=1-=，
∴BM=3NQ=，CM=+2=，
∴Rt△CMN中，MN=，
∵EB∥NC，
∴△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，
∴，即，
∴BE=，ME=，
∴EN=MN-ME=，
∵，
∴，
解得EF=.

故答案為：（1）見解析；（2）①見解析；② .