Question

【題目】已知，如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長BC到點E，使CE=3，連接DE．

（1）DE的長為　 　．

（2）動點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？

（3）若動點P從點B出發，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當t為3秒或13秒時，△ABP和△DCE全等；（3）t的值為3或4或．

【解析】

（1）根據矩形的性質可得CD＝4，根據勾股定理可求DE的長；

（2）若△ABP與△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根據時間＝路程÷速度，可求t的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三種情況討論，分別利用等腰三角形的性質和勾股定理求出BP，即可得到t的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，

在Rt△DCE中，DE＝＝5，

故答案為 5；

（2）若△ABP與△DCE全等，則BP＝CE或AP＝CE，

當BP＝CE＝3時，則t＝＝3秒，

當AP＝CE＝3時，則t＝＝13秒，

∴當t為3秒或13秒時，△ABP和△DCE全等；

（3）若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，

當PD＝DE時，

∵PD＝DE，DC⊥BE，

∴PC＝CE＝3，

∵BP＝BCPC＝3，

∴t＝＝3；

當PE＝DE＝5時，

∵BP＝BEPE，

∴BP＝6+35＝4，

∴t＝＝4；

當PD＝PE時，

∴PE＝PC＋CE＝3＋PC，

∴PD＝3＋PC，

在Rt△PDC中，PD2＝CD2＋PC2，

∴（3＋PC）2＝16＋PC2，

∴PC＝，

∵BP＝BCPC＝，

∴，

綜上所述：t的值為3或4或．