Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交AC于點E且AE=CE，過點E作DE⊥BC于點D．

（1）求證ED是⊙O的切線；

（2）若CD=1，sinC=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5.

【解析】

（1）連接OE，只要證明OE⊥DE即可；

（2）連接BE，根據AB是直徑，得到∠AEB=∠CEB =90°，利用∠CEB=∠CDE=90°，從而得到△DCE∽△CBE，利用對應邊的比相等得到CB的值，然后在Rt△ABC中，AE=CE，∠AEB=∠CEB=90°，得出AB=BC，得出答案AB=5．

（1）連接OE．

∵AE=CE，AO=OB，

∴OE∥BC．

又∵DE⊥BC，

∴∠EDC=90°，

∴∠DEO=90°，

∴ED是⊙O的切線．

（2）連接BE．

在Rt△DCE中，CD=1，sinC=，

∴DE=2，CE=．

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠CEB=90°．

∵∠C=∠C，∠CEB=∠CDE=90°，

∴△DCE∽△CBE，

∴=，即=，

∴CB=5．

∵AE=CE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴AB=CB=5．