Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于和，點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作軸于點D，交拋物線于點C．

求拋物線的解析式；

是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

連接AC，直接寫出為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，線段PC最大且為；（3）為直角三角形時，點P的坐標為或

【解析】

(1)已知B(4，m)在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過待定系數法即可求得解析式；

(2)設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，化成頂點式即可；

(3)當△PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．

在直線上，

，

，

，在拋物線上，

，解得，

拋物線的解析式為；

設動點P的坐標為，則C點的坐標為，

，

，

，

，

當時，線段PC最大且為；

為直角三角形，

若點P為直角頂點，則，

由題意易知，軸，，因此這種情形不存在；

若點A為直角頂點，則，

如圖1，過點作軸于點N，則，，

過點A作直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，為等腰直角三角形，

，

，

，

設直線AM的解析式為：，

則：，解得，

直線AM的解析式為：，

又拋物線的解析式為：，

聯立式，解得：或與點A重合，舍去，

，即點C、M點重合，

當時，，

；

若點C為直角頂點，則．

，

拋物線的對稱軸為直線，

如圖2，作點關于對稱軸的對稱點C，

則點C在拋物線上，且，

當時，，

，

點、均在線段AB上，

綜上所述，為直角三角形時，點P的坐標為或