Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A(0，3)，C(2，n)兩點，直線l：y＝x+2過C點，且與y軸交于點B，拋物線上有一動點E，過點E作直線EF⊥x軸于點F，交直線BC于點D

(1)求拋物線的解析式．

(2)如圖1，當點E在直線BC上方的拋物線上運動時，連接BE，BF，是否存在點E使直線BC將△BEF的面積分為2：3兩部分？若存在，求出點E的坐標，若不存在說明理由；

(3)如圖2，若點E在y軸右側的拋物線上運動，連接AE，當∠AED＝∠ABC時，直接寫出此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）點E（，）或（，）．

【解析】

（1）直線l：y＝x+2過C點，則點C（2，3），y＝x+2過C點，且與y軸交于點B，則點B（0，2），即可求解；（2）＝=＝或，即可求解；（3）分當點E在直線BC上方、點E在直線BC的下方兩種情況，分別求解即可．

（1）直線l：y＝x+2過點C（2，n），且與y軸交于點B，

∴n=×2+2=3，當x=0時，y=2，

∴B（0，2），C（2，3）

將點A、C的坐標代入二次函數表達式得：，

解得：，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設點E（m，﹣m2+2m+3），則點D（m，m+2），

∴DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

＝=＝或，

解得：m＝或，

∴﹣m2+2m+3=，或﹣m2+2m+3=，

∴點E（，）或（，）；

（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），則點D（m，m+2），

DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

①如圖2，當點E在直線BC上方時，

∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，

∵∠AED＝∠ABC，

∴∠AED+∠EDB＝180°，

∴AE∥CD，

∴四邊形ABDE為平行四邊形，

∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，

解得：m＝0或（舍去0）；

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）.

②如圖3，當點E在直線BC的下方時，

設AE、BD交于點N，過點N作x軸的平行線交DE于點M

∵AB∥DE，

∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，

∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，

∴△NAB、△DEN都是以點N為頂點的等腰三角形，

∴點M的縱坐標和AB中點的坐標同為，

由中點公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，

解得：m＝0或（舍去0），

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）．

綜上，點E（，）或（，）．