Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax²+bx交于點C、D．已知點C的坐標為（2，1），點D的橫坐標為

1

2

．
（1）求點D的坐標；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax²+bx沿x軸平移，當拋物線經過點B時，請直接寫出平移的方向和距離．

Answer 1

（1）將點C坐標代入y=kx+2得：
1=2k+2
解得k=-

1

2

則y=-

1

2

x+2
當x=

1

2

時，y=

7

4

故D（

1

2

，

7

4

）；

（2）將點C、D坐標代入y=ax²+bx得：

1=4a+2b 7 4 = 1 4 a+ 1 2 b

，
解得：

a=-2 b= 9 2

故y=-2x²+

9

2

x；

（3）∵y=-

1

2

x+2當y=0時x=4，當x=0時y=2
∴A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2
設P（m，-2m²+

9m

2

）
則S△POA=

1

2

×4×（-2m²+

9m

2

）=-4m²+9m
S△POB=

1

2

×2×m=m
當-4m²+9m=m+4時，解得m=1
∴-2m²+

9m

2

=

5

2

∴存在點P（1，

5

2

）；

（4）將y=-2x²+

9

2

x向左平移

9± 17

8

個單位后，經過點B．