Question

已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，⊙O經過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．
（1）求證：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=（a為大于零的常數），求BK的長：
（3）若F是EG的中點，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可；
（2）根據勾股定理求得AC的長，根據三角形的面積公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．
（3）根據三角形中位線定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求證AE=AC，然后即可求得AC即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；

（2）解：∵AB=a，AD==BC，
∴AC===
∵BK⊥AC，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由三角形的面積公式得：AB×BC=AC×BK，
∴a×a=a×BK，
∴BK=a．

（3）解：DG是圓的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F為EG中點，
∴EF=EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比為1：2，
∴EF為△ABK的中位線，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四邊形ABCD為矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，
∴AC=9，
則AO=，
故⊙O的半徑是，GH的長是6．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形中位線定理，垂徑定理等知識點，綜合性很強，利用學生系統的掌握知識，是一道很典型的題目．