Question

【題目】如圖，在△PAB中，M．N是AB上兩點，△PMN是等邊三角形，∠APM＝∠B．

（1）求證：∠A＝∠BPN；

（2）求證：MN2＝AM·BN；

（3）若AP＝，AM＝1，求線段MN，PB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）MN＝2，

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可證得∠AMP＝∠PNB=，又∠APM＝∠B，可證得△APM∽△PBN，從而證明了∠A＝∠BPN；

（2）由（1）的結論△APM∽△PBN得到，根據等量代換可證得結論；

（3）容易證明△APM∽△ABP，由其對應邊成比例及已知，求得,設MN＝x，根據(2)的結論構建方程，求得等邊三角形的邊長，再根據相似三角形對應邊成比例求得最后答案.

（1）證明：∵△PMN是等邊三角形，

∴∠PMN＝∠PNM＝60°，

∴∠AMP＝∠PNB=120°，

∵∠APM＝∠B，

∴△APM∽△PBN，

∠A＝∠BPN；

（2）解：∵∠APM＝∠B，∠A＝∠BPN，

∴△APM∽△PBN，

∴ ，即PM·PN＝AM·BN，

∵MN＝PM＝PN，

∴MN 2＝AMBN；

（3）解：∵∠A＝∠A，∠APM＝∠B，

∴△APM∽△ABP，

∴，

∴，

設MN＝x，則PM＝MN＝x，BN＝6﹣x，

∵MN 2＝AMBN，

∴x2＝1×（6﹣x），

解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），

∴PM＝MN＝2，

∵，

∴