Question

【題目】如圖，直線MN與x軸、y軸分別交于A、C兩點，分別過A、C兩點作x軸、y軸的垂線相交于B點，且OA、OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數根．

（1）求A、C兩點的坐標．

（2）求直線MN的表達式．

（3）在直線MN上存在點P，使以點P、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) A（8，0），C（0，6）;(2) y＝﹣x+6；;(3) P點的坐標為（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）

【解析】

（1）通過解方程x2-14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．即可得出答案；

（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；

（3）需要分類討論：①當PC=PB時；②當PC=BC時；③當PB=BC時；根據等腰三角形的性質、兩點間的距離公式以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答．

（1）∵x2﹣14x+48＝0，

解得：x1＝6，x2＝8．

∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數根，

∴OC＝6，OA＝8．

∴A（8，0），C（0，6）；

（2）設直線MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．

由（1）知，A（8，0），C（0，6），

∵點A、C都在直線MN上，

∴，

解得：，

∴直線MN的解析式為y＝﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），過A、C兩點作x軸、y軸的垂線相交于B點，

∴B（8，6）．

∵點P在直線MNy＝﹣x+6上，

∴設P（a，﹣a+6），

當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況討論：如圖所示：

①當PC＝PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P（4，3）；

②當PC＝BC時，a2+（﹣a+6﹣6）2＝82，

解得：a＝±，

則P（﹣，）或（，）；

③當PB＝BC時，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，

解得：a＝，

則﹣a+6＝﹣，

∴P（，﹣）．

綜上所述，P點的坐標為（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．