Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），動點P從點A出發以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，過點P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設運動的時間為t秒．

（1）當t=1時，求線段DP的長；
（2）連接CD，設△CDQ的面積為S，求S關于t的函數解析式，并求出S的最大值；
（3）運動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，

當t=1時，AP=1，則OP=3，

∵PD⊥y軸，AB⊥y軸，

∴PD∥AB，

∴ ，

∴ = ，

∴DP=

（2）

解：如圖2，

∵運動的時間為t秒，動點Q同時從點C出發以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，

∴CQ=2t，

∴AP=t，OP=4﹣t，

作DE⊥CO于點E，則DE=OP=4﹣t，

∴S= ×CQ×DE= ×2t×（4﹣t）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

當t=2時，S最大值=4

（3）

解：如圖3，分兩種情況討論：

①當0≤t＜3時，點Q在CO上運動（當t=3時，△ODQ不存在），

∵AB∥CO，

∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC，

可證得BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，

∵AB∥CO，

∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，

∴當0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；

②當3＜t≤4時，點Q在x軸正半軸上運動，

延長AB，

∵AB∥CO，

∴∠FBC=∠BCO=∠BOC，

∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6，

由DP∥AB可得OD= ，

當 時， = ，t= ；

當 時， = ，t= ；

∴存在t= 和t= ，使△ODQ與△ABC相似．

【解析】（1）先由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根據當t=1時，AP=1，則OP=3，再證出 ，最后代入計算即可，（2）先作DE⊥CO于點E，根據DE=OP=4﹣t得出S= ×CQ×DE=﹣t2+4t，從而求出當t=2時，S有最大值，（3）分兩種情況討論：①當0≤t＜3時，點Q在CO上運動，根據AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，證得BO=BC從而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根據AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC從而證出當0≤t≤3時，△ODQ與△ABC不可能相似；②當3＜t≤4時，點Q在x軸正半軸上運動，延長AB，根據AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t﹣6，再由DP∥AB可得OD= ，最后根據 和 時，分別進行計算，求出t的值，即可得出答案．