Question

4．如圖，△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為20．

Answer 1

分析 要求△AMN的周長，根據題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．

解答 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延長AB至F，使BF=CN，連接DF，
在△BDF和△CND中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=CN}\\{∠FBD=DCN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=MD}\\{∠FDM=∠MDN}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF，
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=20．
故答案為：20．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質來證明三角形全等，構造另一個三角形是解題的關鍵．