Question

【題目】已知拋物線的解析式為y=﹣ x2+bx+5．
（1）當自變量 x≥2時，函數值y 隨 x的增大而減少，求b 的取值范圍；
（2）如圖，若拋物線的圖象經過點A（2，5），與x 軸交于點C，拋物線的對稱軸與x 軸交于B．

①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點P，使得∠PAB=∠ABC？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的對稱軸為：x=10b，

由題意可知：x≥2時，函數值y 隨 x的增大而減少，

∴10b≤2，

∴b≤

（2）

解：①將A（2，5）代入拋物線的解析式中，

∴5=﹣ ×4+2b+5，

∴b= ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+5，

②由于∠PAB=∠ABC，

當P在對稱軸的左側時，

此時∠PAB=∠ABC，

∴PA∥BC，

∴P的縱坐標與A的縱坐標相同，

∴P（0，5），

當P在對稱軸的右側時，

連接AP并延長交x軸于E，

此時∠PAB=∠ABC

∴AE=BE，

過點A作AG⊥x軸于點G，過點P作PH⊥x軸于點H，過點E作EF⊥AB于點F，

∵B（1，0），A（2，5），

∴AG=5，BG=1，

∴由勾股定理可知：AB= ，

∵AE=BE，EF⊥AB，

∴BF= AB= ，

∵cos∠ABC= = ，

∴cos∠ABC= = ，

∴BE=13，

∴GE=BE﹣BG=12，

∴tan∠PEG= = ，

設P（x，﹣ x2+ x+5），

∵E（14，0），

∴HE=14﹣x，PH=﹣ x2+ x+5，

∴tan∠PEG= = ，

即 = ，

解得：x=2（舍去）或x= ，

∴P（ ， ）

綜上所述，P（0，5）或P（ ， ）

【解析】（1）由題意可知：對稱軸只需要小于或等于2即可，從而可求出b的范圍；（2）①將A代入拋物線解析式即可求出b的值．②由于∠PAB=∠ABC，且P在拋物線上，故需要對P的位置進行分類討論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．