Question

【題目】設平面內一點到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內切圓半徑為r，外接圓半徑為R .對于一個點與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關聯點.在平面直角坐標系xOy中，等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A(0，2)，B（﹣，﹣1），C(，﹣1).

（1）已知點D（2，2），E（，1），F（，﹣1）.在D，E，F中，是等邊△ABC的中心關聯點的是 ；

（2）如圖1，過點A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°.

①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關聯點P（m，n），求m的取值范圍；

②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當b滿足什么條件時，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關聯點；（直接寫出答案，不需過程）

（3）如圖2，點Q為直線y=﹣1上一動點，⊙Q的半徑為.當Q從點（﹣4，﹣1）出發，以每秒1個單位的速度向右移動，運動時間為t秒.是否存在某一時刻t，使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯點？如果存在，請直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）E,F;（2）①0≤m≤，②﹣ ≤b≤2；（3）存在，t=

【解析】試題解析：（1）根據等邊三角形的中心關聯點的定義，可得 點E、F 是等邊三角形的中心關聯點；

（2）①依題意A（0，2），M（，0）可求得直線AM的解析式為，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長為.當點P在AE上時， ≤OP≤2.所以當點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關聯點.所以0≤m≤;

②同①得﹣≤b≤2;

（3）t=

解：（1）E,F;

（2）①解：依題意A（0，2），M（，0）.

可求得直線AM的解析式為.

經驗證E在直線AM上.

因為OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE為等邊三角形，

所以AE邊上的高長為.

當點P在AE上時， ≤OP≤2.

所以當點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關聯點.

所以0≤m≤;

②﹣≤b≤2;

（3）t=