Question

△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．
（1）如圖（a）所示，當點D在線段BC上時．
①求證：△AEB≌△ADC；
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（2）如圖（b）所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立；
（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

證明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．
∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

（2）①②都成立．

（3）當CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）時，四邊形BCGE是菱形．
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由②得四邊形BCGE是平行四邊形，
∴四邊形BCGE是菱形．
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．
又∵四邊形BCGE是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB．

方法三：∵四邊形BCGE是平行四邊形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等邊三角形．
又∵AB=BC，四邊形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°．