Question

（2013•門頭溝區一模）已知關于x的一元二次方程

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x2+(m-2 )x+2m-6=0．
（1）求證：無論m取任何實數，方程都有兩個實數根；
（2）當m＜3時，關于x的二次函數y=

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x2+(m-2 )x+2m-6的圖象與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的條件下，過點C作直線l∥x軸，將二次函數圖象在y軸左側的部分沿直線l翻折，二次函數圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，記為G．請你結合圖象回答：當直線y=

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x+b與圖象G只有一個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）運用根的判別式就可以求出△的值就可以得出結論；
（2）先當x=0或y=0是分別表示出拋物線與x軸和y軸的交點坐標，表示出AB、OC的值，由2AB=3OC建立方程即可求出m的值；
（3）把（2）m的值代入拋物線的解析式就可以求出拋物線的解析式和C點的坐標，當直線經過點C時就可以求出b的值，由直線與拋物線只有一個公共點建立方程，根據△=0就可以求出b的值，再根據圖象就可以得出結論．

解答：解：（1）根據題意，得
△=（m-2）²-4×

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×（2m-6）
=（m-4）²，
∵無論m為任何數時，都有（m-4）²≥0，即△≥0．
∴無論m取任何實數，方程都有兩個實數根；
（2）由題意，得
當y=0時，則

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x2+(m-2 )x+2m-6=0，
解得：x₁=6-2m，x₂=-2，
∵m＜3，點A在點B的左側，
∴A（-2，0），B（-2m+6，0），
∴OA=2，OB=-2m+6．
當x=0時，y=2m-6，
∴C（0，2m-6），
∴OC=-（2m-6）=-2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2-2m+6）=3（-2m+6），
解得：m=1；
（3）如圖，當m=1時，拋物線的解析式為y=

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x²-x-4，
點C的坐標為（0，-4）．
當直線y=

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x+b經過點C時，可得b=-4，
當直線y=

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x+b（b＜-4）與函數y=

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x²-x-4（x＞0）的圖象只有一個公共點時，得

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x+b═

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x²-x-4．
整理得：3x²-8x-6b-24=0，
∴△=（-8）²-4×3×（-6b-24）=0，
解得：b=-

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．
結合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為b＞-4或b＜-

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．

點評：本題是一道一次函數與二次函數的綜合試題，考查了一元二次方程根的判別式的運用，二次函數與坐標軸的交點坐標的運用，軸對稱的性質的運用，解答時根據函數之間的關系建立方程靈活運用根的判別式是解答本題的關鍵．