Question

【題目】如圖，正方形中，，點在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點．連結、．下列結論：①；②；③是正三角形；④的面積為90．其中正確的是______(填所有正確答案的序號)．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據折疊的性質可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根據HL定理即可證明兩三角形全等；

②不妨設BG=FG=x，（x＞0），則CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；

③利用②得出的結果，結合折疊的性質求得答案即可；

④根據三角形的面積公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．

解：如圖：

在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，

又∵△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G

∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，

即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，

在直角△ABG和直角△AFG中，

AB=AF，AG=AG，

∴△ABG≌△AFG；正確．

∵AB=30，點E在邊CD上，且CD=3DE，

∴DE=FE=10，CE=20，

不妨設BG=FG=x，（x＞0），

則CG=30-x，EG=10+x，

在Rt△CEG中，（10+x）2=202+（30-x）2

解得x=15，于是BG=GC=15；正確．

∵BG=GF=CG，

∴△CFG是等腰三角形，

∵BG=AB，

∴∠AGB≠60°，

則∠FGC≠60°，

∴△CFG不是正三角形．錯誤．

∵，

∴，

∴S△FGC=S△EGC=××20×15=90．正確．

正確的結論有①②④．

故答案為：①②④．