Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線交AD、BC于點E、F，AC與EF交于點O，連結AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分線，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中， ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

設AF=CF=x，則BF=4﹣x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4﹣x）2，

解得 x= ，

∴菱形AFCE的邊長為

【解析】（1）由矩形的性質得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，證明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對角線AC⊥EF，即可得出結論；（2）設AF=CF=x，則BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根據勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．