Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點. 定義圖形W的測度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積. 例如，若圖形W是半徑為l的⊙O. 當P，Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；當P，Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2. 則圖形W的測度而積S=mn=4.

（1）若圖形W是拋物線y=-x2+2x+3和直線y=2x-1圍成的封閉圖形，則它的測度面積S=______

（2）若圖形W是一個邊長為1的正方形ABCD.

①當A，B兩點均在x軸上時，它的測度面積S=_________；

②此圖形測度面積S的最大值為_________；

（3）若圖形W是一個邊長分別為3和6的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）①1； ②2；（3）測度面積S的取值范圍是18≤S≤.

【解析】試題分析：（1）先求出拋物線與直線的交點坐標，再求出拋物線的頂點坐標，然后根據定義進行計算即可得；

（2）①根據給出的定義可以求出來；

②根據定義可以求出測度面積的最大值為2；

（3）因為平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上，注意分三種情況討論.

試題解析：（1）解方程組得： ， ，

拋物線y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

根據定義可知圖形W中|x1-x2|的最大值為4，|y1-y2|的最大值為9，則S=4×9=36，

故答案為：36；

（2）①當A、B都在x軸上時，如圖所示，橫坐標差的絕對值的最大值為1，縱坐標差的絕對值的最大值為1，根據定義可知圖形的測度面積為1，

故答案為：1；

②如圖所示擺放時，圖形的測度面積最大，

此時橫坐標差的絕對值的最大值為，縱坐標差的絕對值的最大值為，根據定義可知圖形的測度面積為2，

故答案為2；

（3）不妨設矩形ABCD的邊AB=6，BC=3. 由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上. 當頂點A，B或B，C都在x軸上時，如圖1和圖2，矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時S=18.

當頂點A，C都不在x軸上時，如圖3.

過A作直線AE⊥x軸于點E，過C作直線CF⊥x軸于點F，過D作直線GH∥x軸，與直線AE，CF分別交于點H和點G，則可得四邊形EFGH是矩形.

當點P，Q分別與點A，C重合時，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；

當點P，Q分別與點B，D重合時，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.

∴圖形W的測度面積S=EF·GF.

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°.

∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°.

∴∠BAE=∠CBF.

又∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△ABE∽△BCF.

∴.

設AE=2a，EB=2b（a>0，b>0），則BF=a，FC=b，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

∴4a2+4b2=36. 即a2+b2=9.

∵b>0，∴b=

易證△ABE≌△CDG. ∴CG=AE=2a.

∴EF=EB+BF=2b+a，GF=FC+CG=b+2a.

∴S=EF·GF=（2b+a）（b+2a）=2a2+2b2+5ab=18+5a

=18+5=18+5=18+5

∴當a2=，即a=時，測度面積S取得最大值18+5×=.

∵a>0，b>0，∴ . ∴S>18.

∴當頂點A，C都不在x軸上時，S的范圍為l8<S≤.

綜上所述，測度面積S的取值范圍是18≤S≤.