Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、．

(1)求直線和直線的解析式；

(2)點為直線上的一個動點，過作軸的垂線交直線于點，是否存在這樣的點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點的橫坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若沿方向平移(點在線段上，且不與點重合)，在平移的過程中，設平移距離為，與重疊部分的面積記為，試求與的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4，y=x；（2）m=或；（3）S=.

【解析】

（1）理由待定系數法即可解決問題；
（2）如圖1中，設M（m，），則N（m，-m+4）．當AC=MN時，A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，可得|-m+4-|=3，解方程即可；
（3）如圖2中，設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．根據S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG計算即可.

解：（1）設直線CD的解析式為y=kx+b，則有，解得，

∴直線CD的解析式為y=-x+4．
設直線OD的解析式為y=mx，則有3m=1，m=，
∴直線OD的解析式為y=x.

（2）存在．
理由：如圖1中，設M（m，），則N（m，-m+4）．

當AC=MN時，A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴|-m+4-|=3，
解得m=或.

（3）如圖2中，設平移中的三角形為△A′O′C′，點C′在線段CD上．
設O′C′與x軸交于點E，與直線OD交于點P；
設A′C′與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．

因為平移距離為t，所以水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），

則圖中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，），C′（1+t，3-t）．
設直線O′C′的解析式為y=3x+b，
將C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直線O′C′的解析式為y=3x-4t．

∴E（，0）．
聯立y=3x-4t與y=，解得x=．
∴S=S△OFQ-S△OEP=OFFQ-OEPG

=（1+t）（）-

=.