Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D為AC邊上一點，且CD＝2AD＝4，過點D作DE⊥AB于點E．

(1)求AB的長；

(2)如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉60°，延長DE交AC于點G，交AB于點F，連接CF．

求證：點F是AB的中點．

(3)如圖3，在△ADE繞點A順時針旋轉的過程中，當DE的延長線恰好經過點B時，若點P為BD的中點，連接CP、PF．

求證：∠PCE＝∠PEC．

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）見解析；（3）見解析；

【解析】分析：(1)求出AC的長后，根據直角三角形中的30°角結合勾股定理求解；(2)判斷△ADF是含30°角的直角三角形，則AD＝2，由勾股定理求AF的長，結合AB的長求證；(3)證點B，C，P，F四點共圓得∠BPC＝60°，證點A，E，C，B四點共圓得∠BEC＝30°.

詳解：(1)∵CD＝2AD＝4，∴AC＝6，

設BC＝x，則AB＝2x.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即(2x)2＝62＋x2.

解得，AB＝.

(2)由題意得：∠DAG＝∠EAF＝60°，∠D＝90°－∠DAE＝60°，

則∠DAB＝90°，

所以DF＝2AD＝4，由勾股定理得AF＝，

∴AF＝AB，即F是AB的中點．

(3)∵點P，點F分別是BD，BA的中點，

∴PF∥AD，∴∠FPB＝∠D＝60°，

由(2)可知，AF＝CF，

∵∠FCA＝∠FAC＝30°，∴∠BCF＝60°，

∴∠FPB＝∠BCF，∴C，B，F，P四點共圓，

∴∠CPB＝∠CFB＝60°，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，

∴A，E，C，B四點共圓，∴∠CEP＝∠CAB＝30°，

∴∠ECP＝∠CPB－∠CEP＝30°，

∴∠PCE＝∠PEC．