Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

提出問題：（1）求證：△PBQ∽△ABC；

深入探究：（2）若AC＝3，BC＝4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；

發散思維：（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC，AC滿足關系式BC＝mAC，是否存在一個m的值使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．若存在，請直接寫出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）則當BP＝時，△AQP面積最大，最大值為；（3）存在，m＝時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

【解析】

（1）根據垂直的定義和已知條件可得∠PQB＝∠C，又∠B＝∠B，然后利用相似三角形的判定即可證出：△PBQ∽△ABC；

（2）設BP＝x，根據勾股定理求出AB，然后根據相似三角形的性質，列出比例式，分別用x表示出PQ、BQ和AQ，然后根據三角形的面積公式即可求出S△AQP與x的二次函數關系式，然后利用二次函數的頂點式求最值即可；

（3）根據全等的性質可得：AQ＝AC，AQ＝QB，從而得出AQ＝QB＝AC，然后根據勾股定理可得BC2＝3AC2，從而求出m的值.

（1）證明：∵PQ⊥AB，

∴∠PQB＝90°，

∴∠PQB＝∠C，又∠B＝∠B，

∴△PBQ∽△ABC；

（2）設BP＝x，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵△PBQ∽△ABC，

∴＝＝，即＝＝，

解得，PQ＝x，BQ＝x，

∴AQ＝5﹣x，

∴S△AQP＝×AQ×PQ

＝×（5﹣x）×x

＝﹣x2+x

＝﹣（x﹣）2+，

則當BP＝時，△AQP面積最大，最大值為；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP，

∴AQ＝AC，

∵Rt△AQP≌Rt△BQP，

∴AQ＝QB，

∴AQ＝QB＝AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2＝AB2﹣AC2

∴BC2＝（2AC）2﹣AC2，

則BC2＝3AC2，

∴BC＝AC，

∴m＝時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．