Question

【題目】已知拋物線C：y＝(x＋2)[t(x＋1)－(x＋3)]，其中－7≤t≤－2，且無論t 取任何符合條件的實數，點A，P 都在拋物線C 上.

（1）當t＝－5時，求拋物線C 的對稱軸；

（2）當－60≤n≤－30 時，判斷點（1，n）是否在拋物線C上， 并說明理由；

（3）如圖，若點A在x軸上，過點A作線段AP的垂線交y軸于點B，交拋物線C于點D，當點D的縱坐標為m＋時，求S△PAD的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當t＝－5時，求拋物線C 的對稱軸為x＝－

（2）當－60≤n＜－54時，點（1，n）不在拋物線C上，當－54≤n≤－30時，點（1，n）在拋物線C上，理由見解析；

（3）S△PAD的最小值為

【解析】試題分析：(1)把t＝5代入y＝(x＋2)[t(x＋1)－(x＋3)],求出函數解析式,在根據對稱軸x=－計算得出;(2) 假設（1，n）在拋物線上，將點（1，n）代入解析式，得n＝6t－12,在根據－7≤t≤－2, 得出當－60≤n＜－54時，點（1，n）不在拋物線C上； 當－54≤n≤－30時，點（1，n）在拋物線C上;(3) 根據點A是拋物線與x軸的交點, 點P在拋物線C 上, 求出A（－2，0），P（－1，－2）, 過點P作PN⊥x軸于點N，證△PAN≌△ABO, 得到BO＝1, PA＝AB＝,過點D作DM⊥x軸于點M，證△DAM∽△BAO,得S△PAD＝,當m取最小值－時， S△PAD的最小值為．

試題解析：

（1）當t＝5時，y＝－6x2－20x－16，

∵－＝－，

∴對稱軸為x＝－．

（2）若（1，n）在拋物線上，

將點（1，n）代入解析式，得

n＝6t－12．

∵ －7≤t≤－2，

∴ －54≤n≤－24．

∵ －60≤n≤－30，

∴ 當－60≤n＜－54時，點（1，n）不在拋物線C上；

當－54≤n≤－30時，點（1，n）在拋物線C上.

（3）由題得A（－2，0），P（－1，－2）．

過點P作PN⊥x軸于點N，可得

PN＝AO＝2，∠PNA＝∠AOB＝90°．

∵ PA⊥AB，

∴ ∠PAN＋∠BAO＝90°．

又∵ ∠ABO＋∠BAO＝90°，

∴ ∠PAN＝∠ABO．

∴ △PAN≌△ABO．

∴ BO＝1，

PA＝AB＝．

過點D作DM⊥x軸于點M，可得

∠DMA＝∠BOA＝90°．

又∵ ∠DAM＝∠BAO，

∴ △DAM∽△BAO．

∴ ．

∴ AD＝．

∴ S△PAD＝APAD＝．

∵ A（－2，0），B（0，1），

∴ 直線AB的解析式為y＝x＋1．

當y＝m＋時，x＝2m－1．

把點D（2m－1，m＋）代入拋物線C的解析式，得t＝1＋ ．

∵ －7≤t≤－2，

∴ －≤m≤－．

∴ m＋＞0．

∴ S△PAD＝ (m＋ )．

∵ ＞0，

∴ S△PAD隨m的增大而增大．

∴ 當m取最小值－時， S△PAD的最小值為．

點睛:以二次函數為背景的幾何圖形變換問題,其核心思想方法主要有分類討論思想,函數與方程思想,樹形結合思想,轉化思想,待定系數法,配方法等,要用運動和變化的眼光去觀察,研究圖形,抓住其中的等量關系和變量關系,綜合分析問題 和解決問題的能力.