Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，頂點為點.

（1）點的坐標為 ，點的坐標為 ；（用含有的代數式表示）

（2）連接.

①若平分，求二次函數的表達式；

②連接，若平分，求二次函數的表達式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②

【解析】

（1）令y=0，解關于x的方程，解方程即可求出x的值，進而可得點B的坐標；把拋物線的解析式轉化為頂點式，即可得出點D的坐標；

（2）①如圖1，過點作，交于點，作DF⊥y軸于點F，則易得點C的坐標與CF的長，利用BH的長和∠B的正切可求出HE的長，進而可得DE的長，由題意和平行線的性質易推得，然后可得關于m的方程，解方程即可求出m的值，進而可得答案；

（3）如圖2，過點B作BK∥y軸，過點C作CK∥x軸交BK于點K，交DH于點G，連接AE，利用銳角三角函數、拋物線的對稱性和等腰三角形的性質可推出，進而可得，然后利用勾股定理可得關于m的方程，解方程即可求出m，問題即得解決.

解：（1）令y=0，則，

解得：，

∴點的坐標為；

∵，

∴點的坐標為；

故答案為：，；

（2）①如圖1，過點作于點H，交于點，作DF⊥y軸于點F，則，，DF=m，CF=，

∵平分，

∴∠BCO=∠BCD，

∵DH∥OC，

∴∠BCO=∠DEC，

∴∠BCD=∠DEC，

∴，

∵，BH=2m，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：（舍去），

∴二次函數的關系式為：；

②如圖2，過點B作BK∥y軸，過點C作CK∥x軸交BK于點K，交DH于點G，連接AE，

∵，

∴，

∴，

∵EA=EB，

∴∠3=∠4，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

即，

解得：（舍去），

∴二次函數的關系式為：.