Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝kx﹣2k（k＜0）的與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）如圖2，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C在經(jīng)過B點(diǎn)的直線y＝-x+b上，CD⊥y軸于點(diǎn)D，連接BD，若S△ABD＝2k+2，求C點(diǎn)的坐標(biāo)（用含k的式子表示）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OC，交直線AB于點(diǎn)E，若3∠ABD﹣∠BCO＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B(2，0)；（2）C(2﹣2k，2)；（3）E(，)

【解析】

（1）令y＝kx﹣2k＝0，解方程即求得點(diǎn)B坐標(biāo)．

（2）求點(diǎn)A坐標(biāo)（用含k的式子），把點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線y＝-x+b求得b＝．由求得點(diǎn)D縱坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)C縱坐標(biāo)也為2，把y＝2代入直線y＝-x+，即求得點(diǎn)C橫坐標(biāo)．

（3）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，在CD上取一點(diǎn)J，使得AJ＝CJ，連接AJ，AC．首先證明∠AJD＝∠COD，根據(jù)tan∠AJD＝tan∠COD，構(gòu)建方程求出k，再求出直線OC，AB的解析式，構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵直線y＝kx﹣2k中，kx﹣2k＝0時(shí)，解得：x＝2

∴B（2，0）

（2）∵x＝0時(shí)，y＝kx﹣2k＝﹣2k

∴A（0，﹣2k）

∵點(diǎn)B（2，0）在直線y＝-x+b上

∴﹣+b＝0

∴b＝，直線解析式為y＝-x+

∵

∴

∵CD⊥y軸于點(diǎn)D

∴

∵點(diǎn)C在直線y＝-x+上

∴-x+＝2，解得x＝2﹣2k

∴C（2﹣2k，2）

（3）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，在CD上取一點(diǎn)J，使得AJ＝CJ，連接AJ，AC．

由（2）可知：CH＝OB＝2，∠BOA＝∠CHB＝90°，BH＝OA＝﹣2k，

∴△CHB≌△BOA（SAS），

∴BC＝BA，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，

∴∠ABD＝∠ACD，

∵3∠ABD﹣∠BCO＝45°，∠BCO＝45°﹣∠ACO，

∴3∠ACD﹣（45°﹣∠ACO）＝45°，

∴3∠ACD+∠AOC＝90°，

∵∠DOC+∠ACD+∠ACO＝90°，

∴∠DOC＝2∠ACD，

∵JA＝JC，

∴∠JCA＝∠JAC，

∵∠AJD＝∠JAC+∠JCA，

∴∠AJD＝2∠DCA＝∠COD，

設(shè)AJ＝JC＝x，在Rt△ADJ中，∵AJ2＝AD2+DJ2，

∴，

解得，

∴，

∵∠AJD＝∠COD，

∴tan∠AJD＝tan∠COD，

∴ ，

解得，

∴A（0，），C（，2），

∴直線OC的解析式為y＝x，

直線AB的解析式為，

由 ，解得 ，

∴E（，）．