Question

【題目】如圖，己知△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，分別連接AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ, BP=CQ.

(1)求證：△ABP≌△ACQ；

(2)連接PQ,求證△APQ是等邊三角形；

(3)連接P設△CPQ是以PQC為頂角的等腰三角形，且∠BPC=100，求∠APB的度數.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；（2）答案見解析；（3）160°

【解析】試題分析:易證AB=AC，∠BAC=60°，即可證明△ABP≌△ACQ，可得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，即可求得∠PAQ=60°，即可解題．

（1）證明： ∵ △ABC是等邊三角形，

∴ AB=AC .

在△ABP和△ACQ中

，

∴ △ABP ≌ △ACQ ( SAS ).

（2）證明： ∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ , ，

∴ ，

∴ .

∵ △ABC是等邊三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ △APQ是等邊三角形.

（3）解： 如圖示

∵ △CPQ是等腰三角形，∠PQC為頂角，

∴ .

設，

= .

∵ △APQ是等邊三角形，

∴ ，

∴ .

∵ △ABP ≌ △ACQ，

∴ ，

∴ .

∵ ，

又∵

∴ ，

解得 ，

∴ .

點睛: 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了正三角形的判定，本題中求證△ABP≌△ACQ是解題的關鍵．