Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD, AH⊥BC于點H，E是CD的中點，連接AE、 BE、HE.

（1）求證： AE⊥BE

（2）求證：∠DEH=3 ∠ EHC

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】（1）分別延長AE、BC交于點G，由角邊角可證AED≌GEC，由全等三角形的性質可得AD=CG，AE=GE，即ABG是等腰三角形，由等腰三角形三線合一可得BE⊥AE；

（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得HE=GE，由等邊對等角得∠EHG=∠G，由平行四邊形的性質得到AB=2AD由等邊對等角證得∠CEG=∠G，即可得證.

(1)分別延長AE、BC交于點G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD=BC，AD//BC.

∴∠D=∠ECG

又∵E是CD的中點，

∴DE=CE，

又∵∠AED=∠GEC，

∴AED≌GEC，

∴AD=CG，AE=GE，

又∵AB=2AD，

∴AB=BC+CG=BG

∴BE是等腰三角形ABG底邊上的中線

∴BE⊥AE.

(2)∵AH⊥BC,AE=GE..

∴HE是RtAHG斜邊AG上的中線

∴HE=GE

∴∠EHG=∠G

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2AD

∴AB=CD=2AD

又∵E是CD的中點，AD=CG

∴AB=CD=2CE=2CG，即CE=CG

∴∠CEG=∠G

∴∠CEG=∠AED=∠G=∠EHG.

∵∠CEG=∠AED，∠AEH=∠G+∠EHG，∠DEH=∠AED+∠AEH

∴∠DEH=∠AED+∠G+∠EHG =3∠EHC.