Question

【題目】如圖，直線是足球場的底線，是球門，點是射門點，連接，叫做射門角.

（1）如圖，點是射門點，另一射門點在過三點的圓外（未超過底線）.證明：

（2）如圖，經過球門端點，直線，垂足為且與相切與點，于點，連接，若，求此時一球員帶球沿直線向底線方向運球時最大射門角的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由同弧所對的圓周角相等可得：∠ACB=∠APB，再根據三角形外角大于不相鄰的內角即可解答；

（2）由垂徑定理可得AE=EB=AB，∠EOB=∠AOB；在Rt△OBE中，再由OB =2a，EB= a，可得∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°，根據圓周角定理可得結果.

解：（1）證明：

連接BC，∵∠ACB=∠APB（同弧所對的圓周角相等）

∠ACB（三角形外角大于不相鄰的內角）

∴

（2）當球員運動到點Q時，射門角最大．

∵OE⊥AB,

∴AE=EB=AB=×2a=a，EC=EB+BC=2a，∠EOB=∠AOB

連接AQ、BQ，由題意得四邊形OQCE是矩形，OQ=EC=2a=OB，

Rt△OBE中，∵OB =2a，EB= a

∴∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°

∴∠AQB=∠AOB=30°.