Question

【題目】如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段CE與線段DF交于點(diǎn)G．

（1）若，求的值；

（2）連接AG，在（1）的條件下，寫(xiě)出線段AG和線段DC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）連接AG，若AD＝2，AB＝3，且△ADG與△CDF相似，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AG∥DC，且；理由見(jiàn)解析；（3）BF＝1．

【解析】

（1）延長(zhǎng)CE和DA，相交于M，根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算可以求出的值；

（2）在（1）的條件下，求出，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比相等可以得到AG與DC的位置和數(shù)量關(guān)系；

（3）根據(jù)∠ADG＝∠DFC分兩種情況討論：①當(dāng)∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD時(shí)，②當(dāng)∠DAG＝∠FDC時(shí)，分別求解即可．

解：（1）∵BF：FC＝1：3，

∴設(shè)BF＝k，則FC＝3k，BC＝4k，

∵AD：BC＝1：2，

∴AD＝2k，

如圖：延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵AD∥BC，

∴，且，

∵點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，

∴AM＝BC＝4k，

∴DM＝DA+AM＝2k+4k＝6k，

∴；

（2）AG∥DC，且．

證明：∵AD∥BC，

∴，

∵，

∴，

∴AG∥DC，

∴；

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD＝2，AD：BC＝1：2，

∴BC＝4，

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DFC，

∵△ADG和△CDF相似，

∴∠AGD＝∠FDC或∠DAG＝∠FDC，

①當(dāng)∠AGD＝∠FDC，即△ADG∽△CFD時(shí)，有AG∥DC，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得AM＝4，

由得，

∴AG＝2，

∵△ADG∽△CFD，

∴，即，

∴CF＝3，

∴BF＝1；

②當(dāng)∠DAG＝∠FDC時(shí)，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)T，

∵∠ATB＝∠DAG＝∠FDC，∠B＝∠C，

∴△ABT∽△FCD，

∴，

由AD∥BC得，

設(shè)BF＝x，

則，

∴FT＝，

∴，

整理得：2x2﹣4x+11＝0，

∵△＝16﹣88＜0，

∴無(wú)實(shí)數(shù)根，即此情況不存在；

綜上所述，BF＝1．