Question

【題目】我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明： ；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足 ，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG ， S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E．

∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點．

∴DE是中位線，

∴DE∥AC，且DE= AC．

∵DE∥AC，

∴△AOC∽△DOE，

∴ =2，

∵AD=AO+OD，

∴

（2）

答：點O是△ABC的重心．

證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．

由（1）可知， ，

而 ，

∴點Q與點O重合（是同一個點），

∴點O是△ABC的重心

（3）

解：如答圖3所示，連接DG．

設S△GOD=S，由（1）知 ，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．

為簡便起見，不妨設AG=1，BG=x，則S△BGD=3xS．

∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．

設OH=kOG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，

∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．

∴S四邊形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S．

∴ = = ①

如答圖3，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE．

∵OF∥BC，

∴ ，

∴OF= CD= BC；

∵GE∥BC，

∴ ，

∴GE= ；

∴ = ，

∴ ．

∵OF∥GE，

∴ ，

∴ = ，

∴k= ，代入①式得：

= = =﹣x2+x+1=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時， 有最大值，最大值為

【解析】（1）如答圖1，作出中位線DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結論；（2）如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由（1）可知， ，而已知 ，故點O與點Q重合，即點O為△ABC的重心；（3）如答圖3，利用圖形的面積關系，以及相似線段間的比例關系，求出 的表達式，這是一個二次函數，利用二次函數的性質求出其最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．