Question

【題目】問題提出

（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）

問題探究

（2）如圖，在矩形中，，點為的中點，點為上任意一點，當的周長最小時，求的長；

問題解決

（3）如圖，在矩形中，，點為對角線的中點，點為上任意一點，點為上任意一點，連接，是否存在這樣的點，使折線的長度最小？若存在，請確定點的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＞；（2）；（3）當點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據三角形全等的判定定理與性質得出，再根據三角形的三邊關系定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據矩形的性質得出，從而可得AE的長，再根據三角形的周長公式、兩點之間線段最短得出的周長最小時，點F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質即可得；

（3）如圖（見解析），先根據軸對稱性質、兩點之間線段最短得出折線的長度最小時，四點共線，再利用直角三角形的性質、矩形的性質得出，，，然后利用軸對稱的性質、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設交于點，根據等邊三角形的判定與性質可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時，點Q的位置．

（1）如圖，延長AD，使得，連接CE

是的中線

在和中，

在中，由三角形的三邊關系定理得：，即

故答案為：；

（2）如圖，作點關于的對稱點，連接FG，則

四邊形ABCD是矩形，

垂直平分

點E是BC的中點

，，

則的周長為

要使的周長最小，只需

由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值

∴

∴，即

解得；

（3）如圖，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，則

∴折線的長度為

由兩點之間線段最短可知，，當且僅當點四點共線時，折線取得最小長度為

∵在矩形中，

∴，

∵點為的中點

∴

∵點與點關于對稱，點與點關于對稱

∴，

，

∴

設交于點

在中，

∴

，即

又∵

∴是等邊三角形

∴

∵

∴點與的中點重合

綜上，當點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度為4．