Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點G,點F是CD上一點,且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E。 連接AD、DE，若CF=2，AF=3。給出下列結論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正確的是（ ）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用垂徑定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，結合公共角可證明△ADF∽△AED；②結合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF與△AED的相似比，再求S△ADF，進而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出結果.

解：①∵AB為直徑，AB⊥CD，

∴，

∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，

∴△ADF∽△AED，故①正確；

②∵AB為直徑，AB⊥CD，

∴CG＝DG，

∵，且CF＝2，

∴FD＝6，

∴CD＝8，

∴CG＝4，

∴FG＝CGCF＝42＝2，故②正確；

③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2，

∴AG＝，

∴tan∠ADG＝，

∵∠E＝∠ADG，

∴tan∠E＝，故③錯誤；

④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，

∴AD＝，

∴，

∴，

∵，

∴S△AED＝，

∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④錯誤；

故選：A．