Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y＝ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．

（1）已知a＝1，點B的縱坐標為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長．

②如圖2，若BD＝AB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數表達式．

（2）如圖3，若BD＝AB，過O，B，D三點的拋物線L3，頂點為P，對應函數的二次項系數為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F兩點，求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①AC＝4；②y＝4（x﹣）2；（2）＝﹣，＝．

【解析】

（1）①根據函數解析式求出點A、B的坐標，求出AC的長；②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，根據拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；

（2）過點B作BK⊥x軸于點K，設OK=t，得到OG=4t，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式，根據拋物線過點B（t，at2），求出的值，根據拋物線上點的坐標特征求出的值．

解：（1）①二次函數y＝x2，當y＝2時，2＝x2，

解得x1＝，x2＝，

∴AB＝，

∵平移得到的拋物線L1經過點B，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝；

②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，如圖2，

根據拋物線的軸對稱性，得BN＝DB＝，

∴OM＝．

設拋物線L2的函數表達式為y＝a（x﹣）2，

由①得，B點的坐標為（，2），

∴2＝a（）2，

解得a＝4．

拋物線L2的函數表達式為y＝4（x﹣）2；

（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q，

過點B作BK⊥x軸于點K，

設OK＝t，則AB＝BD＝2t，點B的坐標為（t，at2），

根據拋物線的軸對稱性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t．

設拋物線L3的函數表達式為y＝a3x（x﹣4t），

∵該拋物線過點B（t，at2），

∴at2＝a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴＝﹣，

由題意得，點P的坐標為（2t，﹣4a3t2），

則﹣4a3t2＝ax2，

解得，x1＝﹣t，x2＝t，

EF＝t，

∴＝．