Question

己知：二次函數y=ax²+bx+6（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）請直接寫出點A、點B的坐標．
（2）請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標．
（3）如圖1，在二次函數對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段0B上一個動點（點Q不與點0、B重合）．過點Q作QD∥AC交BC于點D，設Q點坐標（m，0），當△CDQ面積S最大時，求m的值．

Answer 1

（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax²+bx+6，得

4a-2b+6=0 36a+6b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x²+2x+6，
∵y=-

1

2

（x-2）²+8，
∴拋物線對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，8）；

（3）如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），設直線AC′解析式為y=ax+b，則

-2a+b=0 4a+b=6

，
解得

a=1 b=2

，
∴y=x+2，當x=2時，y=4，
即P（2，4）；

（4）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S_△ABC=

1

2

AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴

S△BDQ

S△BCA

=（

BQ

BA

）²=（

6-m

8

）²，
即S_△BDQ=

3

8

（m-6）²，
又S_△ACQ=

1

2

AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-

3

8

（m-6）²-（3m+6）=-

3

8

m²+

3

2

m+

9

2

=-

3

8

（m-2）²+6，
∴當m=2時，S最大．