Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE，且∠BEC=50°，D為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到線段EF，連接DF.

（1）請(qǐng)你在下圖中補(bǔ)全圖形；

（2）請(qǐng)寫(xiě)出∠EFD的大小，并說(shuō)明理由；

（3）連接CF,求證：DF=CF.

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）60°；理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）連接ED，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得：ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：BE=EF，∠BEF=40°，從而得出EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°，即可判定△EFD為等邊三角形，從而求出∠EFD的大小；

（3）連接BF并延長(zhǎng)交DC于G，利用等邊對(duì)等角求出∠BCA，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得：CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°,再求出∠CBG的度數(shù)，從而可判定BG⊥CD，再根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可證出G是CD的中點(diǎn)，從而得到BG垂直平分CD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證DF=CF.

補(bǔ)全圖形如下所示：

（2）連接ED，

∵D為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)

∴ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°

∵EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到線段EF

∴BE=EF，∠BEF=40°

∴EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°

∴△EFD為等邊三角形

∴∠EFD=60°

（3）連接BF并延長(zhǎng)交DC于G

∵AB=AC，∠ABC=120°

∴∠A=∠BCA=（180°－∠ABC）=30°

∵D為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)

∴CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°

∵BE=EF，∠BEF=40°

∴∠EBF=∠EFB=（180°－∠BEF）=70°

∠EBC=180°－∠BEC－∠BCE=100°

∴∠CBG=∠EBC－∠EBF=30°

∴∠BGC=180°－∠CBG－∠BCG=90°

∴BG⊥CD，CG=BC=CD

∴G為CD的中點(diǎn)

∴BG垂直平分CD

∴DF=CF.