Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：設直線BC的解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），

∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t．

∴S△BCM= PM（ON+BN）= PMOB= ×3（﹣t2+3t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當t= 時，△BCM的面積最大，此時P點坐標為（ ， ）

（3）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴設Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），

∴CN= = ，CQ= = ，NQ= = ，

∵△CNQ為直角三角形，

∴分點C為直角頂點、點Q為直角頂點和點N為直角頂點三種情況：

①當點C為直角頂點時，則有CN2+CQ2=NQ2，

即（ ）2+（m2﹣6m+10）= +m2，解得m= ，

此時Q點坐標為（1， ）；

②當點Q為直角頂點時，則有NQ2+CQ2=CN2，

即（m2﹣6m+10）+ +m2=（ ）2，解得x= 或x= ，

此時Q點坐標為（1， ）或（1， ）；

③當點N為直角頂點時，則有NQ2+CN2=CQ2，

即（ ）2+ +m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ ，

此時Q點坐標為（1，﹣ ）；

綜上可知Q點的坐標為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣ ）

【解析】（1）在拋物線解析式中，令x=0可求得C點坐標，令y=0則可求得A、B的坐標；（2）由B、C的坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣x+3，可設P點坐標為（t，﹣t+3），則可表示出M點坐標，則可求得PM的長，從而可用t表示出△BCM的面積，再利用二次函數的性質可求得當△BCM的面積最大時t的值，可求得P點坐標；（3）由（2）可知N點坐標，設Q點坐標為（1，m），則可用m分別表示出QN、QC及CN，分點C為直角頂點、點Q為直角頂點和點N為直角頂點三種情況，分別根據勾股定理可得到關于m的方程，可求得m的值，可求得Q點坐標．