Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是C的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F.

(1)求證:點O在AB的垂直平分線上;

(2)若∠CAD＝20°，求∠BOF的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，根據垂直平分線的性質可得BO=AO，依此即可證明點O在AB的垂直平分線上；

（2）根據等腰三角形的性質可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根據垂直的定義，等腰三角形的性質和角的和差故選即可得到∠BOF的度數．

（1）證明：∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∵AD是BC的垂直平分線，

∴BO=CO，

∵OE是AC的垂直平分線，

∴AO=CO，

∴BO=AO，

∴點O在AB的垂直平分線上；

（2）解：∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴AD平分∠BAC，

∵∠CAD=20°，

∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，

∵OE⊥AC，

∴∠EFA=90°-40°=50°，

∵AO=CO，

∴∠OBA=∠BAD=20°，

∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=50°-20°=30°．