Question

【題目】如圖，BD是ABCD的對(duì)角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，AM與CN分別是∠BAE與∠DCF的平分線，AM交BE于點(diǎn)M，CN交DF于點(diǎn)N，連接AN，CM．求證：四邊形AMCN是平行四邊形．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】

連接AC交BD于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，由ASA證明△ABM≌△CDN，得出BM=DN，證出OM=ON，即可得出結(jié)論．

證明：連接AC交BD于O，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABM=∠CDN，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠ABM+∠BAE=90°，∠CDN+∠DCF=90°，

∴∠BAE=∠DCF，

∵AM與CN分別是∠BAE與∠DCF的平分線，

∴∠BAM=∠DCN，

在△ABM和△CDN中，，

∴△ABM≌△CDN（ASA），

∴BM=DN，

∴OM=ON，

又∵OA=OC，

∴四邊形AMCN是平行四邊形．