Question

【題目】如圖，已知線段AB，P1是AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＞BP1），點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)．求證：P1B是P2B和P1P2的比例中項．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)AB=2，根據(jù)黃金分割的定義得AP1=AB=，則P1B=3-，由點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)得OB=1，所以OP1=-2，由于P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則P1P2=2-4，可計算出P2B=-1，然后同過計算得到P1B2=14-6，P2BP1P2=14-6，即P1B2=P2BP1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中項．

證明：設(shè)AB=2，

∵P1是AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＞BP1），

∴AP1=×2=﹣1，

∴P1B=2﹣（﹣1）=3﹣，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OB=1，

∴OP1=1﹣（3﹣）=﹣2，

∵P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，

∴P1P2=2（﹣2）=2﹣4，

∴P2B=2﹣4+3﹣=﹣1，

∵P1B2=（3﹣）2=14﹣6，P2BP1P2=（﹣1）（2﹣4）=14﹣6，

∴P1B2=P2BP1P2 ，

∴P1B是P2B和P1P2的比例中項