Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，B點與C點是直線y＝x﹣3與x軸、y軸的交點．D為線段AB上一點．

（1）求拋物線的解析式及A點坐標．

（2）若點D在線段OB上，過D點作x軸的垂線與拋物線交于點E，求出點E到直線BC的距離的最大值．

（3）D為線段AB上一點，連接CD，作點B關于CD的對稱點B′，連接AB′、B′D

①當點B′落坐標軸上時，求點D的坐標．

②在點D的運動過程中，△AB′D的內角能否等于45°，若能，求此時點B′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（﹣2，0）；（2）E到BC的最大距離為；（3）①D1（0，0）；D2（3，0）；②B′坐標為（0，3）或（-3）或（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）求出B，C兩點的坐標，代入拋物線解析式即可得出答案；

（2）設E點橫坐標為m，則F（m，m3），過點E作EH⊥BC于點H，EF＝yFyE＝，利用二次函數的性質可求出E到直線BC的距離的最大值；

（3）①點B′在以C為圓心，CB為半徑的圓C上．所以滿足條件的B′有兩個，分別位于y軸、x軸，結合對稱的性質解答即可；

②分不同的情況進行討論：

（Ⅰ）當點B′位于y軸上，易得點B′的坐標；

（Ⅱ）如圖3，連接CB′，構造菱形DB′CB，根據菱形的性質求得B′（3，3）；

（Ⅲ）∠B′AD＝45°，如圖4，連接CB′，過點B′分別作坐標軸的垂線，垂足為E、F，在直角△CFB′中，由勾股定理知m2＋（5m）2＝（3）2，解出m即可；

（Ⅳ）如圖5，∠AB′D＝45°，連接CB’，過點B′作y軸的垂線，垂足為點F，由軸對稱性質可得當∠AB′D＝45°時，點A在線段CB′上，結合勾股定理求得m的值，進而求得符合條件的點B′的坐標．

（1）∵B點與C點是直線y＝x﹣3與x軸、y軸的交點．

∴B（3，0），C（0，﹣3），

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為，

令y＝0，則，

解得x1＝﹣2，x2＝3，

∴A（﹣2，0）；

（2）設E點到直線BC的距離為d，E點橫坐標為m，F（m，m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴∠OBC＝45°，

如圖1，過點E作EH⊥BC于點H，

則△EFH為等腰直角三角形，

∴EH＝，

EF＝yF﹣yE＝m﹣3﹣(），

＝（0≤m≤3），

＝，

當時，EF的最大值為，

∴d＝EF＝＝．

即E到BC的最大距離為；

（3）①點B′在以C為圓心，CB為半徑的圓C上；

（Ⅰ）當B′點落在x軸上時，D1（0，0）；

（Ⅱ）當B′點落在y軸上時，如圖2，CB′＝CB＝3，

∵∠OB′D＝45°

∴OD＝OB’＝3﹣3，

∴；

②分別畫出圖形進行討論求解：

（Ⅰ）∠B′DA＝45°時，如圖2，OB′＝3﹣3，B′（0，3﹣3）

（Ⅱ）如圖3，連接CB′，∠B′DA＝∠CBD＝45°，

∴DB′∥BC，可得四邊形DB′CB是菱形，

B′（﹣3，﹣3）．

（Ⅲ）∠B′AD＝45°，如圖4，連接CB′，過點B′分別作坐標軸的垂線，垂足為E、F，

設線段FB’的長為m，B′E＝AE＝2﹣m，可得CF＝5﹣m，

在直角三角形CFB’中，m2+（5﹣m）2＝（3）2，

解得m＝，

故B′（），

（Ⅳ）如圖5，∠AB′D＝45°，連接CB’，過點B′作y軸的垂線，垂足為點F，

由軸對稱性質可得，∠CB′D＝∠CBD＝45°，所以當∠AB′D＝45°時，點A在線段CB′上，

∴，

設線段FB′的長為2m，FC＝3m，（2m）2+（3m）2＝，

解得：m＝，B′，

綜合以上可得B′坐標為（0，）或或（）或．