Question

如圖，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2

5

，sinB=

5

5

，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥AB，PD交AC于點(diǎn)D，連接AP．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)PC的長(zhǎng)為x，△ADP的面積為y．當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)∠B的正弦值及斜邊AB的長(zhǎng)，可求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可由勾股定理求得BC的長(zhǎng)；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據(jù)相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達(dá)式，也就求出AD的表達(dá)式，進(jìn)而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，可求出y的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，sinB=

5

5

，AB=2

5

，
得

AC

AB

=

5

5

，
∴AC=2，根據(jù)勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴

DC

PC

=

AC

BC

=

1

2

；
設(shè)PC=x，則DC=

1

2

x，AD=2-

1

2

x，
∴S△ADP=

1

2

AD•PC=

1

2

(2-

1

2

x)•x=-

1

4

x2+x=-

1

4

(x-2)2+1
∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是1． （8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．